2025 — Session NormaleMathematiquesExercice 4
Problème — Partie III : Suite numérique
Etape 1 / 40.5 pt — Raisonnement par récurrence
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = e$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, avec $f(x) = x - \dfrac{(\ln x)^2}{x}$.
On veut montrer par récurrence que $1 < u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Pour l'initialisation, on vérifie que $1 < u_0 = e$. Pour l'hérédité, on suppose $1 < u_n$. Quel résultat de la Partie II permet de conclure que $1 < u_{n+1}$ ?